控制系统的数学描述与建模
MATLAB技术应用
控制系统的数学描述与建模
控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。
系统的分类
按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。
线性定常连续系统的微分方程模型
微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。
电路图如图，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0<t<15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。
传递函数描述
对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下：
传递函数
MATLAB中创建传递函数（TF）对象 创建两个行向量，按降阶顺序分别包含分子和分母多项式中s各次幂的系数 使用tf命令建立TF对象 例如： >> numG=[4 3];denG=[1 ? >> G1=tf(numG,denG) 或 >> G1=tf([4 3],[1 ?
零极点增益模型
零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] 函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。
K为系统增益，zi为零点，pj为极点
零极点增益模型
零点、极点、增益形式（ZPK）表示 输入零点和极点列向量及标量形式的增益 使用zpk命令建立ZPK对象 例： >> zG=-0.75;pG=[-1;-5];kG=4; >> G2=zpk(zG,pG,kG) 或者： >> G2=zpk(-0.75,[-1;-5],4)
传递函数
两种形式互换 TF形式变换为ZPK形式 Gzpk=zpk(Gtf) [zz,pp,kk]=zpkdata(Gzpk,’v’) %获得G(s)的零点、极点和增益 ZPK形式变换为TF形式 Svv=tf(Sxx) [nn,dd]=tfdata(Svv,’v’) %获得分子分母多项式系数
部分分式展开
控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 [resG,polG,otherG]=residue(numG,denG) resG留数 polG极点 otherG 常数函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。 [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。
举例：传递函数描述
1） 》num=[12,24,0,20];den=[2 ? 2） 借助多项式乘法函数conv来处理： 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));
零极点增益模型： 》num=[1,11,30,0]; 》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》
z= 0 -6 -5
p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000
k= 1
结果表达式：
部分分式展开： 》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》
p= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000
k= 2
r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000
结果表达式：
状态空间描述
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。
在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。
举例
系统为一个两输入两输出系统： 》A=[1 ? ; 》B=[4 6; ? 》C=[0 ? 》D=zeros(2,2);
模型的转换与连接
在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 模型转换的函数包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
模型的转换
用法举例
已知系统状态空间模型为： 》A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; 》C=[1,3]; D=[1]; 》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 》num=1 ? 》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 》z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1
已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为： 》num=[0 ? 》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 》A= -6 -11 -6 B= ? ? ? 系统的零极点增益模型： 》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k) 》num= ? 》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 》a= -1.0000 ? 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 ? c= ? 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。
已知部分分式： 》r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》p=[2i,-2i,-1];k=2; 》[num,den]=residue(r,p,k) 》num= ? 》den= ? 注意余式一定要与极点相对应。
模型的连接
1、并联：parallel 格式：[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％并联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) ％inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n； out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。 若inp1=[1 3],inp2=[2 1]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) ％将并联连接的传递函数进行相加。