绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A．
B．
C．
D． 2．已知集合
，则
中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D． 3．函数
的图像大致为 4．已知向量
，
满足
，
，则 A．4 B．3 C．2 D． 5．双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为 A．
B．
C．
D． 6．在
中，
，
，
，则 A．
B．
C．
D． 7．为计算
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．
B．
C．
D． 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．
B．
C．
D． 9．在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为 A．
B．
C．
D． 10．若
在
是减函数，则
的最大值是 A．
B．
C．
D． 11．已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则 A．
B．0 C．2 D．5 12．已知
，
是椭圆
的左、右焦点，
是
的左顶点，点
在过
且斜率为
的直线上，
为等腰三角形，
，则
的离心率为
B．
C．
D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线
在点
处的切线方程为__________． 14．若
满足约束条件
则
的最大值为__________． 15．已知
，
，则
__________． 16．已知圆锥的顶点为
，母线
，
所成角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．学科*网 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 记
为等差数列
的前
项和，已知
，
． （1）求
的通项公式； （2）求
，并求
的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了
与时间变量
的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量
的值依次为
）建立模型①：
；根据2010年至2016年的数据（时间变量
的值依次为
）建立模型②：
． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分） 设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线
与
交于
，
两点，
． （1）求
的方程；学科&网 （2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程． 20．（12分） 如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点． （1）证明：
平面
； （2）若点
在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函数
． （1）若
，证明：当
时，
； （2）若
在
只有一个零点，求
． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），直线
的参数方程为
（
为参数）． （1）求
和
的直角坐标方程； （2）若曲线
截直线
所得线段的中点坐标为
，求
的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数
． （1）当
时，求不等式
的解集； （2）若
，求
的取值范围． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 13．
14．9 15．
16． 三、解答题 17．解： （1）设
的公差为d，由题意得
． 由
得d=2． 所以
的通项公式为
． （2）由（1）得
．