文本描述
一、问题的提出
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
解决方法：更换投影面。
§5 投影变换
换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
X1
二、新投影面的选择原则
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
平行于新的投影面
垂直于新的投影面
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
⒈ 更换一次投影面
A点的两个投影：a， a?
A点的两个投影：a，a1
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
ax1
?
?
?
V
H
X
V1
H
X1
a?
a
a1
V
H
A
a
?
?
?
ax
X
a1
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
? aa1 ? 男峦队暗叫峦队爸岬木嗬氲扔诒淮娴耐队暗皆队爸岬木嗬搿?br>ax
a?
?
?
?
?
?
一般规律：
? 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。
.
更换H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
H
X
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
ax
ax1
ax1
更换V面
作图规律：
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
?
?
?
?
a?
a
X
V
H
?
⑵ 求新投影的作图方法
作图规律
a2a1 ?
a2ax2 ? 摹⒒幻娣ǖ牧龌疚侍?br>1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
空间分析：
不行！
作图：
新投影轴的位置？
与ab平行。
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。
问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
b?
b
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
a?
b?
a
b
X
V
H
作图：
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2轴的位置？
与a1b1垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
例 ? BC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。
功用：可求解平面与投影面的倾角，
点与平面的距离，
两平行面间的距离等。
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
空间分析：
在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。
作图方法：
能否只进行一次变换？
思考：
若变换H面，需在面内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X
V
H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
线AD。
★ 将AD变换成新投影
面的垂直线。
反映平面对哪个投影面的夹角？
5 ? 姹涑赏队懊娴钠叫忻?br>问题的关键：
新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X
V
H
c
作 图：
AB是水平线
空间分析：
X2轴的位置？
平面的实形
与其平行
例5 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
例 ? E平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。
c1
1 、求直线实长和与投影面的倾角
将直线变换成投影面的平行线。
2 、求平面实形和形心
将平面变换成投影面的平行面。
3、 求平面与投影面的倾角
将平面变换成投影面的垂直面。
4、 求距离
（1）点与直线之间
? 懊娲怪毕摺? ? 钠矫姹浠怀赏队?面的平行面。
五、换面法的应用
（2） 点与平面之间
将平面变换成投影面垂直面。
（3） 两平行线之间
将两直线变换成投影面垂直线。
（4） 两平行平面之间
将两平面变换成投影面垂直面。
?
（1）两直线之间
将两直线组成的平面变换成投影面平行面。
（2） 两平面之间
将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。
距离
d1
如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。
作图:
求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。
空间及投影分析：
过c1作线平行于x2轴。
b?
a?
a
b
c
d
例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，
且AB为水平线，求CD及MN的投影。
空间及投影分析：
V
H
X
圆半径=MN
作图：
请注意各点的投影如何返回？
求m点是难点。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60o角。
a
b
a?
c?
b?
X
V
H
c
作 图：
●
●
几个解？
两个解！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
D点的投影如何返回？
V
H
X
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析：
由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。
在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。
? 小 结 ?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物
体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，
即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线
1. 把一般位置直线变成投影面平行线
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面
4. 把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
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