文本描述
Chapter5 Stresses in beams
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 ?
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
§5-3 横力弯曲时的正应力(Normal
stresses in transverse bending )
§5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-5 提高梁强度的主要措施（Measures
to strengthen the strength of beams)
一、弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.
§5-1 引言 (Introduction)
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN ? 矩.
只有与切应力有关的切向内力元素
dFS ? 力；
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，
又有切应力.
二、分析方法 (Analysis method)
简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.
若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.
三、纯弯曲（Pure bending)
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
一、实验（ Experiment）
1.变形现象（Deformation phenomenon )
纵向线
相对转过了一个角度，
仍与变形后的纵向弧线垂直.
各横向线仍保持为直线，
各纵向线段弯成弧线，
横向线
2.提出假设 ? r>（a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面且垂直于变形
后的梁轴线；
（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤
压，只受单向拉压.
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴 横截面对称轴
⊥
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
三、物理关系(Physical relationship)
所以
Hooke’s Law
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.
应力分布规律：
?
待解决问题
中性轴的位置
中性层的曲率半径r
四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.
内力与外力相平衡可得
将应力表达式代入（1）式，得
将应力表达式代入（2）式，得
将应力表达式代入(3)式，得
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接判断 ? 灾嵛纾罕湫魏笸钩霰叩挠αξα?? 为正号).凹入边的应力为压应力（? 为负号）；
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
（1）当中性轴为对称轴时
矩形截面
实心圆截面
空心圆截面
z
y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
一、横力弯曲(Nonuniform bending)
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的
计算横力弯曲时横截面上的正应力.
二、公式的应用范围
(The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
3.平面弯曲（Plane bending）
4.直梁（Straight beams）
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[s]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.
解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；
（2）求惯性矩，抗弯截面系数
（3）求许可载荷
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 [?t] ? αξ猍?c] =160MPa. 已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
解：
最大正弯矩在截面C上
最大负弯矩在截面B上
B截面
C截面
例题3 由 ? 泵科涞哪ゲ亮ι跣∈保恳槐∑投懒⑼淝频厝衔科铣械５耐饬Φ扔?br>解：每一薄片中的最大正应力
z
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲
最大正应力等于
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section)
§5-4 梁的切应力及强度条件(Shear
stresses in beams and strength condition)
（1）两个假设(Two assumptions)
（a）切应力与剪力平行；
（b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
（2）分析方法(Analysis method)
（a）用横截面m-m ? x一段.两横截面上的弯矩不等. 所以两截面同一y处的正应力也不等；
（b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
（c）在纵截面上必有沿 ? FS′.故在此面上就有切应力τ.
根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.
m?
（3）公式推导(Derivation of the formula)
假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴 y1 处的正应力为?1 和?2.
A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
式中：
化简后得
由平衡方程
b
矩型截面的宽度.
整个横截面对中性轴的惯性矩.
距中性轴为y的横线以外部分横
截面面积对中性轴的静矩.
（4）切应力沿截面高度的变化规律
( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
截面静矩的计算方法
A为截面面积
2.工字形截面梁（工-section beam)
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
d — 腹板的厚度
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.
tmin
tmax
假设：
（a）沿宽度k-k'上各点处的切应力
均汇交于O'点；
（b）各点处切应力沿y方向的分量沿
宽度相等.
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.
3.圆截面梁(Beam of circular cross section)
最大切应力发生在中性轴上
4.圆环形截面梁(Circular pipe beam)
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ?，环的平均半径为r0，由于 ? >（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
（b）切应力的方向与圆周相切.
式中 A=2?r0?
为环形截面的面积
横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为
z
y
r0
δ
二、强度条件（Strength condition）
三、需要校核切应力的几种特殊情况
（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力；
（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢
的相应比值时，要校核切应力；
（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.
?max
例题4 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F ? 篈B由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[?]=170MPa,许用弯曲切应力[?]= 100MPa ，试校核梁的强度.
解：此吊车梁可简化为简支梁，力 ? 凶畲笳α?.
（a）正应力强度校核
所以梁的最大正应力为
（b）切应力强度校核
在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.
查型钢表中，20a号工字钢，有
据此校核梁的切应力强度
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
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